Una proposición lógica es un enunciado con sentido, del que se puede decir que es verdadero o falso, pero no las dos cosas al tiempo. Algunos ejemplo de proposiciones son los siguientes:

 

1. 3 * 4 = 12

2. Cartagena es la capital de Bolívar

3. El sistema binario utiliza dos símbolos para representar los números.

4. 1 kilobytes tiene 1024 bytes

 

Todos estos son ejemplos de proposiciones, ya que de todas se puede decir con toda seguridad que son verdaderas o falsas.

 

Entre algunas expresiones que no son proposiciones tenemos:

 

1. Coma

2. No corra

3. Hace mucho Sol

4. El agua está fría

5. La manzana es sabrosa

 

Las dos primeras expresiones no son ni verdaderas ni falsas, por lo tanto no son proposiciones; las otras tres dependen de los gustos o de las circunstancias.

 

Si en la proposición: "cinco es mayor que tres" (en símbolos: 5 > 3) reemplazamos al número 5 por la letra x, se obtiene la expresión "x es mayor que tres" (x > 3), y si convenimos que x no represente necesariamente al número 5, sino a un número cualquiera, entonces al enunciado x > 3 se le denomina enunciado abierto.

 

Las proposiciones se pueden representar por las letras minúsculas p, q, r, s, t, ... Estas letras reciben el nombre de variables proposicionales. Se pueden definir las siguientes proposiciones:

 

1. p : 1 y 0 son símbolos utilizados en todos los sistemas numéricos.

2. q : 32 = 1000002

3. r : log a n = n log a

 

Existen dos constante proposicionales, V y F, que representan verdadero y falso, respectivamente. A cualquier variable proposicional se le puede asignar el valor de V o F. La constante proposicional proporciona el valor de verdad de la proposición.

Las proposiciones definidas hasta ahora son proposiciones simples o atómicas. Se puede decir que una proposición simple es el menor enunciado con carácter verdadero o falso, pero no las dos cosas al mismo tiempo. También se puede decir que es una proposición que consta de una única variable o constante proposicional. Todas las proposiciones no atómicas se denominan proposiciones compuestas. Una proposición compuesta es, entonces, la formada por dos o más proposiciones simples unidas mediante un símbolo llamado conectivo lógico. Un conectivo es un símbolo que nos permite relacionar o vincular dos o mas proposiciones de modo tal que se genera una tercera. Los conectivos lógicos o conexiones lógicas más utilizadas son: v, Ù, ®, «,~, Ú

 

La negación es la conexión lógica más sencilla. Toda proposición se puede negar anteponiendo a su enunciado “es falso que”, “no es cierto que” o “no es el caso que” o insertando dentro de la proposición la palabra “no”. Simbólicamente, la negación de la proposición p sería ~p, que se lee “no p”, “no es cierto que p”, “es falso que p” o “no es el caso que p”. La tabla de verdad para la negación es:

 

 

 

La negación de        p: todos los alumnos estudian matemática

es                               ~p: no todos los alumnos estudian matemática

o bien:                        ~p: no es cierto que todos los alumnos estudian matemática

~p: hay alumnos que no estudian matemática

 

La conjunción se puede utilizar cuando se quiere expresar el hecho de que dos proposiciones son verdaderas. El conectivo lógico que se usa en la conjunción es “Ù“  , el cual se lee como “y”. Si p y q son dos proposiciones, p Ù q se llama conjunción de p y q. La palabra “y “ no siempre denota conjunción como en el caso de: “Carlos y Laura son hermanos”. Se pueden utilizar otras palabras para denotar conjunción como por ejemplo: “pero”, además”, “más aún”. La tabla de verdad de la conjunción es:

 

 

Los métodos abreviados que se utilizan en el español no son permitidos en las afirmaciones lógicas, por ejemplo, la oración “Carlos y María van a bailar”. La forma correcta es “Carlos va a bailar y María va a bailar”. Entonces se pueden definir las proposiciones:

 

p : Carlos va a bailar

q : María va a bailar

 

Entonces la oración “Carlos y María van a bailar” se convierte en p Ù q.

Ejemplo.

 

1. Sea la declaración

 

5 es un número impar    y   6 es un número par

 

       p                   Ù                   q

 

vemos que está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p y q, que son:

 

p: 5 es un número impar

q: 6 es un número par

 

y por ser ambas verdaderas, la conjunción de ellas (que no es sino la declaración) es verdadera.

 

2. Sea la declaración

 

Hoy es el día 3 de noviembre y mañana es el día de 5 de noviembre

 

Esta conjunción es falsa, ya que no pueden ser simultáneamente verdaderas ambas proposiciones.

 

La disyunción o es utilizada en sentido incluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera. En el lenguaje ordinario la palabra o es utilizada en sentido incluyente o excluyente indistintamente. Para agotar toda posibilidad de ambigüedades, en matemática se utiliza la disyunción definida por la tabla precedente, que nos muestra que la disyunción sólo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas.

 

Las oraciones que contienen una “o” se pueden traducir como disyunciones. El conectivo lógico que se usa en la disyunción es “ v ”, el cual se lee como “o”. Si p y q son dos proposiciones, p Ú q se llama disyunción de p y q.   La palabra “o” puede ser incluyente o excluyente. En la oración “Tú puedes comer o carne o pollo”, la presunción es que puedes escoger una de las dos, pero no ambas, entonces el sentido es de exclusividad. En la oración “El programa de computadora tiene un error, o la entrada es errónea”, no excluye ninguna de las dos posibilidades. La disyunción se puede decir que es incluyente por lo tanto p Ú q se puede leer como “p o q o ambas”.   La tabla de verdad de la disyunción es:

 

 

 

 

 

Sea la proposición: Tiro las cosas viejas o que no me sirven

El sentido de la disyunción compuesta por p y q (p: tiro las cosas viejas, q: tiro las cosas que no me sirven) es incluyente, pues si tiro algo viejo, y que además no me sirve, la disyunción es V.

  El conectivo lógico que se usa en la disyunción excluyente es “ Ú ” .       Si p

y q son dos proposiciones, p Ú q se llama disyunción excluyente de p y q, y

se lee como “p o q, pero no ambas”.

La tabla de verdad de la disyunción excluyente es:

 

 

 

Sea la proposición: o vamos a Córdoba o vamos a Mendoza

 

Queda claro que sólo podremos ir a uno de los dos lugares, y sólo a uno. Es decir que el enunciado es verdadero sólo si vamos a una de las dos ciudades. En caso de ir a ambas, o de no ir a ninguna, el enunciado es Falso.

Recibe también el nombre de implicación. El conectivo lógico que se usa en la condicional es ®”. Si p y q son dos proposiciones, p ® q se llama condicional de p y q, y se lee como “si p entonces q” o “p implica q”.   La afirmación p se llama antecedente y q el consecuente.

 

La tabla de verdad de la condicional es:

 

 

 

 

Hay varias maneras de expresar la condicional, algunas son: “si p, entonces q”, “siempre que p, entonces q”, “p es suficiente para q”, “p sólo si q”, “p implica q”.

 

También se puede invertir el orden del antecedente y el consecuente; entre las diferentes formas de decir “si p entonces q” invirtiendo el orden del antecedente y el consecuente se tienen: “q si p”, “q siempre que p”, “q es necesario para p”, “q es implicada por p”; En este caso se puede representar simbólicamente como q ¬ p. Un ejemplo sería: “El frasco lleva una etiqueta de advertencia si contiene veneno”, la cual se puede expresar como “Es necesaria una etiqueta de advertencia para los frascos que contienen veneno”.

 

 

1. Supongamos la implicación

 

Si apruebo, ENTONCES te presto el libro

         p                  ®                         q

 

La implicación está compuesta de las proposiciones

 

p: apruebo

q: te presto el libro

 

Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la implicación i), en relación a la verdad o falsedad de las proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es evidente que si p es F, es decir si no apruebo el examen, quedo liberado del compromiso y preste o no el apunte la implicación es verdadera.

 

Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen, y no presto el libro, el compromiso no se cumple y la proposición i) es falsa. Si p y q son verdaderas, entonces la proposición i) es verdadera pues el compromiso se cumple.

 

Ejemplo.

 

1 = -1 Þ 1² = (-1)²   (V)

 

La proposición resulta ser verdadera por ser el antecedente (1 = -1) falso.

 

 

Recibe también el nombre de equivalencia o doble implicación. El conectivo lógico que se usa en la bicondicional es «”. Si p y q son dos proposiciones, p « q se llama bicondicional de p y q, y se lee como “p si y sólo si q”.   Se puede utilizar “ssi” como una abreviatura para “si y sólo si”

 

La tabla de verdad de la bicondicional es:

 

 

 

 

a = b si y sólo si a² = b²

 

El enunciado está compuesto por las proposiciones:

 

p: a = b

q: a² = b²

 

Esta doble implicación es falsa si una es F y la otra es V.    En los demás casos es V.